数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨

数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨发布时间：2019-04-09 22:20:23

初中数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨
——石狮市第二中学 朱文泽
全日制义务教育数学课程标准(2011修改稿)新增了“模型思想”，强调：“模型也是‘数与代数’的重要内容，方程、方程组、不等式、函数等都是基本的数学模型” 。这给近两年全国各地中考稍显“降度”趋势的“应用性问题”注入了新的活力，给应用性问题的创设和复习教学提出了新的挑战。
一、解读基于“模型思想”下应用性问题的研究意义
东北师范大学校长史宁中教授解读修订意见时说：“模型思想”是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
数学模型方法（俗称“建模”）不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。比如：根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解等。这些内容有助于培养学生的学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想。
二、例析基于“模型思想”下应用性问题的创设意图
（一）从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；
数学问题源于生活、寓于生活、用于生活，具体情境的创设唤起了学生对数学应用价值的认识，激发了学生的数学应用意识，这对培养学生 “两能”，即“发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”具有积极意义的。
【例1】（2011泉州中考·第24题）某班将举行 “庆祝建党90周年知识竞赛” 活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨

请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
【评析】对话情境及对话场景的创设给学生亲切感，似乎是重现自己的某次亲身经历，是机智与幽默的对话，激活了考生的思维。
【例2】（2010泉州中考·第24题）某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用天加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工吨或者粗加工吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为元，粗加工后为元．已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润元.
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）如果精加工天，粗加工天，依题意填写下列表格：

	精加工	粗加工
加工的天数（天）
*获得的利润（元）*

（2）求这批蔬菜共多少吨.
【评析】文字与表格展示出生活与生产相联系，体现了数学的应用价值。
数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨

【例3】（2009泉州中考·第27题）如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.
（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S米².
①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），
并求当S=时x的值；
②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？
【评析】注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，体现数形结合的思想。
【启示】应用性问题情境都是来源于生活，学生较为熟悉，设计呈现形式多以对话，表格，图形等为信息，体现了“以生为本”的新课程理念。

（二）用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；
【例4】（2011湖北荆州·第23题）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

型号金额	Ⅰ 型设备		Ⅱ 型设备
投资金额x（万元）	x	5	x	2	4
补贴金额y（万元）	y₁=kx (k≠0)	2	y₂=ax²+bx (a≠0)	2.4	3.2

（1）分别求出和的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的
方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
【评析】表格呈现的符号与数量，反映了自变量和函数关系之间的关系，待定系数法思想。
【例5】（2010石狮七末·第25题）某工厂用铝合金材料加工一批形状如图1所示的长方形窗框，窗框的内部安装透明玻璃.（铝合金材料的宽度都相同，接口用料忽略不计.）
（1）用含的代数式表示制作一个该种窗框所需铝合金材料的总长度；
（2）已知每根铝合金原材料的长为厘米，铝合金材料费100元/根，若要做50个如图1所示的铝合金窗框，至少需要铝合金材料费多少元？请说明怎样裁料.
（3）图2是由两扇如图1所示的玻璃窗组装成且处于完全关闭状态的窗户，图3是由图2开窗通风时的示意图.
①求铝合金材料的宽度；（用含的代数式表示）
②当时，求完全打开玻璃窗时的最大通风面积；（精确到0.1平方厘米）

【启发】新课标(2011修改稿)把“符号感“修改为“符号意识”，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

（三）求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程。
【例6】（2011石狮九末·第25题）某快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价(元）取整数，用(元)表示该店每天的纯收入．
（1）若每份套餐售价不超过10元.
①试写出与的函数关系式；
②若要使该店每天的纯收入不少于800元，则每份套餐的售价应不低于多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证纯收入又能吸引顾客？
【简析】（1）①

.（

＜

≤

）
②依题意得：

≥

，解得：

≥

，
∵

＜

≤10，且每份套餐的售价

(元)取整数，∴每份套餐的售价应不低于9元.
（2）依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，

，
当

时，

，解得：

，

，
为保证净收入又吸引顾客，应取

，即

不符合题意.故该套餐售价应定11元.
【启发】很多同学在解答应用性问题时，重视审题、分析数量关系、建模等，往往忽略检验，对模型结果的解释过程，可以帮助学生从数量关系的角度更清晰地描述现实世界。

三、构建基于“模型思想”下应用性问题的长效教学策略
一线教师在应用性问题的复习教学时，无不抱怨：“应用题我都讲了千百遍，学生的应用意识一点也不见增强，遇到应用题总是一筹莫展”。但我们会发现：问题情境和数量关系是它的两个基本构成要素，而由于数量关系或其运算通常是隐含在文字、图表的信息之中的，其解决需要较复杂的抽象思维和验证推理。而就学生解决应用性问题的常规思路来说，数学应用性问题解决的难点主要在于将问题情境向数学问题的转化，也就是我们要经常引导学生从所熟悉的生活情境和相关的学科的实际问题出发，帮助学生度过信息转换、整合、提炼的难关，归纳、抽象出数学概念和规律，建立起相应的数学模型，从而把实际应用性问题转化为数学问题来解决，基于“数学思想”，追求有效的复习教学策略。
数学论文:基于“模型思想”下数学应用性问题的创设及教学探讨

史宁中教授认为，数学发展所依赖的数学思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的，通过抽象，在现实生活中得到数学的概念、运算和法则，通过推理使得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界（应用性问题）的联系。

四、探讨基于“模型思想”下应用性问题的复习迎考行动
1、落实“四基”仍然是应用性问题复习迎考的前提与基础，否则“数学模型”就成为无本之木，无源之水
我们的教材中已经给我们展现了许多的数学模型，虽然涉及的是与社会、生活、科学、生产联系十分密切的事例，但教师复习教学必须先抓好“四基”，即：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，才能使我们的“模型”更具有针对性。详见下表：

模型名称	数学知识	生活中的数学应用情境举例
方程（组）模型	一元一次方程一元二次方程二元一次方程组分式方程	覆盖到生活实际的各方面情境创设…… 类型的数量关系平均增长率……
不等式模型	一元一次不等式	市场营销，生产决策，投资方案…
函数模型	一次函数反比例函数二次函数	市场营销、生产决策、投资方案…的最大最小最优… 图象信息、函数拟合……
几何模型	解直角三角形线，多边形，圆	航海，测量…… 美工设计，建筑设计，区域规划……
统计、概率模型	平均数，方差频率分布，概率	调查，报表，统计，概率……

【例7】（2010石狮九末·第24题）为了估计一次性木质筷子的用量。2008年从某市共600家高、中、低档快餐厅中抽取10家作为样本，这些快餐厅每天消耗的一次性筷子盒数分别为0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、2.1、1.2、3.2、1.0．
(1)通过对样本的计算，估计该市2008年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；
(2)2010年又对该市一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查结果是10个样本快餐厅中每个快餐厅平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该市2008、2009这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（假定2009年、2010年该市快餐厅数、全年营业天数与2008年相同）。
（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07 m3，求该市2010年使用一次性木质筷子的木材可以生产多少套学生桌椅，计算中需用到的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，所用木材密度为0.5×103kg/m3.
【评析】本题是一道综合性非常强的学科渗透综合题，模型建立涉及到统计初步知识、一元二次方程及物理中的密度公式等知识的综合运用。

【启示】统计知识在现实生活中有着广泛的应用，衔接高中阶段有关与概率统计有关的应用问题。作为学生要学会深刻理解基本统计思想，要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，建立相应的“模型”，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进策略。

2、提高信息捕捉能力，帮助学生建立“符号意识”是应用性问题复习迎考的训练重点，也是正确建立数学模型的关键所在
阅读一个问题情境，需要在问题的文字语言或图表中捕捉信息，并将文字语言转化为数学的符号语言，以数学语言（文字语言、图形语言和符号语言）为工具进行数学思维与交流。教学中我们发现，其实学生解决应用性问题的关键在于语言和符号间的转化，符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，有了“符号”才能从合理的角度对数学应用性问题进行理解和抽象。教师应加强数学语言和符号互译的训练，在审题之后，学生对于其中数学语言的理解能力还应该通过多个角度的训练才能有较大的提高，比如：学会说数学、学会议数学、学会写数学等，从而帮助学生建立“符号意识”，让他们能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；进行一般性的运算和推理。
【例8】（2011湖北黄石·第23题）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编造了一道应用题：

月用水量（吨）	单价（元 / 吨）
不大于10吨部分	1.5
大于10吨不大于m吨部分（20≤m≤50）	2
大于m吨部分	3

为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：
（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；
（2）记该户六月份用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；
（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳消费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围。
【评析】解答本题要结合“用水收费”的一些基本常识，并综合利用方程组模型和不等式模型才能解决。考查了学生从表格中获取信息的能力和“符号意识”。
3、丰富生活背景，增强建模意识，培养多向思维，开阔建模思路，提高建模能力
数学模型不同于一般的模型，它反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，即把一个实际问题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程就称为数学建模，它主要有三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。
数学建模的问题都有假设条件及要达到的目标，建模就是要将条件与目标联系起来，这种联系是多向的，要完成它，不仅需要顺向思维，也需要逆向思维，更需要多向思维的结合，这也体现了列代数式是基础，方程是核心，函数是纽带，不等式发挥着重要作用。所以，一线教师要通过各种途径培养学生的建模意识，提高学生的建模能力。
【例9】（2010石狮质检·第25题）某商店计划购进某型号的螺丝、螺母进行销售，有关信息如下表：

	原进价(元/个)	零售价(元/个)	成套售价(元/套)
螺丝		1.0	2.0
螺母		0.6	2.0

（1）已知用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同，求表中

的值；
（2）若该店购进螺母数量是螺丝数量的3倍还多200个，且两种配件的总量不超过3000个.
①该店计划将一半的螺丝配套（一个螺丝和两个螺母配成一套）销售，其余螺丝、螺母以零售方式销售. 请问：怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（用含a的代数式表示）
②由于原材料价格上涨，每个螺丝和螺母的进价都上涨了0.1元. 按照①中的最佳进货方案，在销售价不变的情况下，全部售出后，所得利润比①少了260元，请问本次成套的销售量为多少？

【评析】本题以零件配套销售与零散销售为背景，综合考查了学生建立方程、不等式、函数等数学模型，是“建模思想”解决策略类问题的一个典型。

纵观各地的应用性问题的试题发现，方程类试题常与函数问题融为一体，问题情境更贴近学生的生活实际，从研究函数的数学性质转移到函数知识的实际应用，特别是函数型应用题明显增多，而且这些应用性问题越来越贴近学生的生活实际．同时，“综合与实践”活动课教学应引起每一个教师的重视，预测今后将有更多的课题研究性学习类、利用统计与概率决策类应用题出现在中考试卷中，这类试题对学生的动手操作能力、问题探究能力、数学建模等能力的考查要求比较高。但“数学模型”就是中学数学的一条主线，一线教师应该把视野更开阔些，基于“模型思想”处理具体的数学内容，紧扣数学建模，明确数学建模和应用性问题教学的意义，初中应用性问题与数学建模的教学的基本原则，常见的建模方法及类型，让学生学会从实际生活情境中发现问题、提出问题，合理建立数学模型，分析问题与解决问题。