初中学生数学学习中的常见错误类型及诱因分析

初中学生数学学习中的常见错误类型及诱因分析发布时间：2019-04-09 22:23:58

初中学生数学学习中的常见错误类型及诱因分析
梅江区城北中学张雪清
摘要：数学错误是学习者在数学学习过程中由于诸多因素引发的对数学知识形成的误读现象。初中数学应正是这一现象，力求以“错”启“智”，发掘数学错误的教育潜能以促进初中数学素质教育。本文即通过初中学生数学学习中的常见错误类型及其表现阐述，从理论与教学实践上对数学错误进行了深入分析。
关键词：初中学生数学学习常见错误类型诱因
所谓数学错误，即学习者在数学学习过程中由于知识、学习者思维方式或教学方式等问题引发的对数学知识形成的误读现象。初中学生在初次接触系统的数学知识学习，难免会出现一些错误。但错误的出现并不可怕，及时、准确的矫正，更有助于培养学习者的数学学习兴趣和信心。某种意义上讲，数学错误同样是数学学习过程中的重要环节。数学家Schwarzenberger即在就任英国数学会会长的致词中提出：与正确答案相同的是，数学错误对于学习者有着不可忽视的作用，由于其发生的特殊理由，作为诊断工具，它能使教师明了学生心里可能的想法。这实质上就是数学错误价值的完美概述。义务教育数学课程标准也明确要求，教师“要耐心地引导他们分析其产生的原因,并鼓励他们自己去改正,从而增强学习数学的兴趣和信心”。由此，笔者认为，在初中数学的教学过程中，教师应重视与关注到数学错误的存在，力求以“错”启“智”，从数学教学的针对性和有效性出发，最大限度地发掘数学错误的教育潜能，以更好地促进初中数学素质教育的实施。以下笔者即结合自身的相关教学实践对初中数学错误作一个简要而相对系统的梳理，以期对数学教学有效性研究提供一定的帮助。
一、初中学生数学学习中的常见错误类型
关于初中学生在数学学习中的常见错误类型，大致可界定为以下几类：
其一，对相关知识点概念、原理混淆不清产生的错误，尤其指因概念实质模糊、循环定义概念及相似概念的混淆所导致产生的错误；其二，由于推理无据所导致，在判题解题过程中体现的错误，包括如滥用法则、循环论证、对充要条件与充分非必要条件的应用或臆造定理等错误。其三，忽视命题条件形成的错误，包括忽视公式、定理及法则的适用条件、概念中的隐含条件、约束条件中的隐含条件以及条件的充分性与必要性、结论特征中的隐含条件等问题。其四，学习中由于考虑不周、不全面导致的错误，其中包含形式套用、忽视特例、以偏概全、审题马虎及检验不当等产生的错误。
二、初中学生数学学习中的常见错误的诱因分析
（一）数学学习中的负迁移
数学教学、学习过程中，因某种学习对另一种学习所导致的干扰或抑制作用，即可称为学习中的负向迁移。尽管教学实践中无论是教材安排或教学环节都尽量地倾向于知识的正迁移，如对分数符号形式的适当引入可对单项式、多项式及幂、根式等概念的教学产生有利的类比迁移作用。但是在学习的过程中，负迁移的产生仍是难以避免的。从教育心理学角度看，根据学生原有认知结构与新知识学习间的联系，知识学习可分为三种：下位学习：即新知识的包摄和概括水平低于原认知结构；上位学习：新知识的包摄和概括水平相对较高；并列结合学习二者间不存在从属关系或总括关系。由此而言，数学中的负迁移通常在由固有认知结构向不稳固的知识的迁移过程中形成的，尤其是上位学习、并列结合学习中存在的负迁移现象尤为严重。如学生在运算、论证等相应练习题中所暴露的问题大多与并列结合学习相关，在“指数与指数幂的运算”一节，部分同学就易犯如a²+a²=a⁴，a⁶-a²=a⁴，(a³)²=a⁹，……之类简单错误，将幂的运算法则与自然数的运算法则相混淆了。或者如“内错角相等，同位角相等，同旁内角互补”等错误的概念总结说法，也是学生在角的概念学习中错误地联系了平行线性质所得出的结论。
（二）逻辑性错误
逻辑性错误就是指由于学生在学习、解题过程中违反逻辑规则所导致的错误。这也是学生掌握数学基础知识与基本技能过程中最隐蔽的错误和最易犯的错误，其原因可粗略的分为两种：一类是由于命题逻辑本身存在易引起误解或难以理解之处而导致的错误；另一类是学生未能深层次地把握数学的公理化方引发的错误。从教学现状来看，学生的表现大致可区分有以下几类：
（1）部分隐含条件隐含于已知条件中，或属于较常用的公理性质。在日常教学中学生已基本熟悉或掌握了这些隐含条件，但由于学生马虎大意，解题急于求成，未深刻数学的严谨性要求，以致得出错误结论。如下题：已知方程x²-（m+1）x+m²+m-3≥0有实根α、β，试求代数式（α+1）（β+1）最值。就有相当部分的同学忽视了审题及题中的隐含条件，直接引用α+β，αβ的代数式定理，得出结论（α+1）(β+1)=(m+1)²-3，m=-1时代数式有最小值，却忽略了一元二次方程存在实数根的前提条件即判别式△≥0。这就要教师在一元二次方程的教学中不仅要注意正面强调注意判别式、二项式系数的重要性，更要在练习中继续加以巩固，以有效避免类似错误。
（2）学生忽略了解题过程中由已知条件所应得出的中间条件，以致取值范围扩大。在二次根式的化简解题中，此类现象尤为常见。如下题：已知三角形三边分别为a、b、c，求代数式

的值。其中已知条件不但隐含a、b、c＞0，且隐含任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的中间条件，少数同学就是因为忽略了这一中间条件或仅回忆起一部分，致使解题陷入困境。这种困难与学生的学习能力存在密切关系，在其本身就对解题存在模糊意识的情况下，自然也就难以顾及中间过程了；当然也存在部分同学缺乏辨析、找寻条件充要性的主动意识，将数学学习变成了生搬硬套，比葫芦画瓢，这也从侧面证明提高数学学习能力，应当有效培养学生思维的严密性，增强数学推理能力。
（三）数学概念性错误
概念在数学学科中的基础性地位表现为，概念体现的是推理的起点，一系列数学性质、定理的推导、应用均要求清晰正确的数学概念作为基础。概念认识和理解模糊，或机械的、零碎的认识，在实际应用时都可能出现张冠李戴、应用条件区分失当等问题。学生数学能力的高低，很大程度上即取决于对数学概念掌握的程度。初中数学中，学生出现的概念性错误包括以下几类：
（1）日常概念的影响。主要指初中生将日常生活经验的概念与科学概念相混淆，尽管二者在形成、发展过程中存在着相互联系的关系，但由于日常概念的多义、宽泛性与模糊性，易促使学生对于数学概念形成错误理解。譬如日常生活中“我明天或后天去北京”，其中“或”的选择显然是两者都选其一，而数学概念的理解中却显然不尽是如此，“A或B”更多地理解为是A和B都选择。这就使学生在接触相关概念时难免存在已知条件或适用条件区分上的困扰。
（2）邻近概念混淆。即在内涵差别较小、文字陈述相近的数学概念教授中，学生的理解状况易出现混淆，从知识本身的角度讲，即知识点之间的低区分度或交叉重复是导致学生概念混淆的重要因素。如在计算(-X⁵Y²)·(-4X²Y)时，就有学生将原式解为（-1）×（-4）·（X⁵·X²)(Y²·Y)=2X¹⁰Y²，很明显该同学是将“幂的乘方法则”与“同底数幂的乘法法则”的概念相混淆了，“指数相加”被套用为“指数相乘”。
（3）前后知识的干扰。与学习中的知识迁移有所类似的是，学生在知识的扩展过程中，其本身也可能会给学生带来相互干扰的影响。譬如讲授“有理数的减法”时，有的教师会强调“减去一个数即等于加上它的相反数”，则3-7中的符号“-”是减号；而代数和的学习过程中，3-7又须看作正3与负7之和，“-”是负号。这就要求教师应合理地帮助学生区分困惑，以避免产生运算错误。“不等式的解集”“不等式基本性质2”也是如此，受此前所学的“等式的性质”和“一元一次方程的解是一个数”的干扰，学生很难把握两者的异同，不等式运算错误较多。
三、数学错误类型及成因分析对初中数学教学带来的启示
综合以上关于数学错误类型及其成因的分析，笔者认为合理恰当地应用数学错误的教学意蕴，就能最大限度地发挥其教育功能，改善教学并提高教学有效性。一是要注意在考虑学生固有认知结构及学习需求的基础上，教师可采取类似预测、练习等诊断性评价手段，有针对性地转变教学设计包括教学目标、方法、内容、组织方式等，进而构建高效的学习环境，提高学生认知水平，降低数学错误的出现次数。二是恰当选择教学策略，依据教学目标与任务教学内容的特点、学生的实际情况以及教师自身素养等，综合考虑教学策略与学情的适用性，提高初中数学教学的有效性。通过夯实学生对各基础知识点的认识，有效地消除如概念模糊、逻辑混乱等基础性错误。三是将数学错误视为教学资源，积极有效地构建起自主的学习环境。学生在学习中表现出的数学错误是规律性的产物，是学习者特有的概念与格式所构造形成的。教师通过对错误案例这一特殊学习资源的整合，如设计成数学错误专题练习等，即可构建出适应学生需求的学习环境，激发其元认知，使其在在学习过程中形成自我诊断与反思、治疗的概念，在有效减少数学错误的同时，进而提高了自身数学思维能力。
四、结语
新课改的突出特征表现为面向全体、全面地提升学生素质，义务教育数学课程标准中也指出教师应“记录与分析作业中的常见典型错误，及时查漏补缺、改进教学”。这些都要求教师在初中数学教学中要善待“数学错误”，及时地纠正、转化，并予以诊断和治疗，在调整和改善教学的基础上有效巩固学生的数学知识，降低其出现数学错误的频次，更好地服务于数学有效性教学。

参考文献：
[1]杨仑.提高初中数学课堂教学效益的案例分析[J].西南农业大学学报（社会科学版），2010（01）.
[2]余小英.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].发展，2010（03）.
[3]姜绍忠，李俊平.对初中数学教学中利用“辅助题目”培养学生解题能力的思考[J].硅谷，2010（06）.
[4]陈峰.数学课堂有效活动的设计与实施[J].上海教育科研，2009（08）.
[5]彭爱辉.初中数学教师错误分析能力研究[D].重庆：西南大学，2007.