初中数学论文:从解剖一道中考压轴题谈初中数学思想渗透的必要性

初中数学论文:从解剖一道中考压轴题谈初中数学思想渗透的必要性发布时间：2019-04-09 22:27:30

初中数学论文:从解剖一道中考压轴题谈初中数学思想渗透的必要性

金天安
[本文摘要]
本文通过解剖2012年一道中考压轴题，表明解决此题，涵蕴着需涉及较多数学思想方法问题，结合课标要求，谈谈初中数学思想渗透的必要性，以供同仁共勉，为数学教学尽一微薄之力。
[主题词]   课标    压轴题   数学思想
人为万物之灵，有思想、有灵魂。但人的思想不是天生的，是后天逐渐形成的，是可以重新培养教育的。所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。它的思想一旦被人所掌握，说近点，学生的思想里能形成一定的数学思想，则解决数学问题就不成大问题了。教师通过对学生数学思想的培养，数学的能力就会有一个大幅度的提高。
1．课标要求掌握“基本的数学思想和方法”
义务教育数学课程标准（以下简称课标），它在继承我国数学教育要注重双基传统的同时，突出了培养学生创造精神和实践能力，提出使学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”。①
初中阶段常用的数学思想为：化归与转化思想，数形结合思想，方程思想，函数思想，建模思想和分类讨论思想等。它来源于数学基础知识及常用的数学方法，同时在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
数学中方程思想已被广泛应运；化归与转化思想在数学中几乎无处不在，它是数学教学中最基本的思想方法；分段讨论思想方法多运用于点、线、面运动和分类问题等，应运时，要特别注意做到不重复、不漏解；建模思想多用于可借助一次、二次函数的解析式的应运题；数形结合思想的实质是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，实现“数与形互相取长补短”。
近几年来，中考数学试题特别重视突出数学思想和方法的考查。
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2．剖析2012年绍兴市中考压轴题
2012年绍兴市中考数学压轴题：24、如图，
矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线
y=x²-4x-2经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度
沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速
度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。②
此题是一道综合性极强，难度很大的题目，从要求解答的第（1）至（2）①，再到（2）②，先后难易呈一定的坡度，显然照顾到了升学考试的分流要求。现剖析如下：

1本题考点

本题是二次函数背景下点运动的数形结合综合题。具体考查知识点为：二次
函数、相似三角形、矩形、垂线、平行线、三角形内角和定理、对称轴、对称性、角的大小比较、自变量取值范围等。
2．2本题所属专题
本题是压轴题；动点型；分类讨论题。
2．3本题解析及其中考查的数学思想方法
（1）因为四边形OABC是矩形，且OA在y轴上，抛物线y=x²-4x-2经过A、B，且抛物线的解析式已知，所以运用函数和方程思想，将x=0代入解析式即可得A点坐标；又由矩形OABC的性质知，A、B两点的纵坐标相同，用A点的纵坐标代入已知解析式y=x²-4x-2即可求出B点的横坐标，从而可求得AB长为4。
（2）①因点P、Q在矩形边上，且只求当PQ⊥AC时t的值，因点P自A至B需4秒，而点Q自A至B需8/7秒，又因点P比点Q先出发1秒，所以当点Q到达点B时，点P离开出发点A还只有15/7个单位，所以我们可以运用化归与转化思想，切换出矩形OABC，并运用分类讨论思想，只需按Q点的位置在OA上、在OC上、在CB上分三段来分析讨论，如图1-3。

若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，而第三种情况比较复杂，经讨论后确定不符合要求。因此，解题时，首先确定这三段上t的取值范围：由题意知， A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，也即1≤t＜；当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，也即 ≤t＜；当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8 ，也即 ≤t≤ 。

特别地，当Q点在BC上时，如图3，若PQ⊥AC，设垂足为I，过Q点作QD∥AC，则∠DQP=∠AIP = 90⁰，∵∠QPB是△DQP的外角，∴∠QPB＞90°，而∠B=90⁰，∴∠B+∠QPB+∠PQB＞180°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，所以，此时PQ不与AC垂直。

通过三种情况分段讨论，得出结论：当时，有PQ⊥AC。

(2) ②、由题目的结果要求显然可运用函数思想和数形结合思想而求得。当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，若P、H₁重合，此时有∠H₁OQ=∠POQ，显然若作点H₁关于OQ的对称点P´，设OP´与对称轴交于点H₂，那么亦可得到∠H₂OQ=∠POQ，而题目要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么点H₁以下、H₂点以上的H点都是符合要求的。当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值为2，又知点P、Q的运动速度，可求得AP、CQ的长分别为2和1，从而得 P、Q点的坐标为（2，-2）和（4，-1），又由S_△OPQ=S_矩形OABC-S_△OPA-S_△BPQ- S_△OQC =3求得PM = ，PP′

=2PM = 并可判定P点在抛物线的对称轴x=2上又由Rt△COQ∽△Rt△NPP′得P′点
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的坐标为（，）。从而得直线OP′的解析式为
y = x 。
很显然，当Y_H＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
而H₂点可运用方程思想方法，由直线OP′的解析式和

对称轴NP的解析式联立得方程组而求得，交点为H₂
（ 2，）

综上所述，当Y_H＜-2或Y_H＞时，∠HOQ＞∠POQ。
压轴题往往具有知识复盖面大，使用数学方法众多，渗透
数学思想灵活，综合性极强的特点。解压轴题的方法为：首先是解读题意，然后再寻求基础知识之间的有机联系进行各个击破，寻找出关键点，最后选择恰当的数学思想方法求解。本题是二次函数和几何图形背景下有关点的运动问题，凸显分类讨论思想的渗透，要进行正确的分段，要做到不重复、不漏解。
3．加强对学生数学思想的渗透
中考数学试题可鉴，命题者很重视突出数学思想和方法的考查。因此，在平时的教学中，要注意体会、归纳教材、题目中的数学方法和数学思想渗透。尤其在中考数学复习时，教师更应有意识、有目的、适时地渗透数学思想方法，培养学生有效地利用数学思想方法解决相关问题。同时要求学生不要只顾解题，要注意体会、归纳题目中的数学方法和数学思想。
可以想象，在平时能把以下两个例题，应用合适的数学思想方法分析透彻，并拓宽题目背景，同时运用类比的数学方法，则对以上中考压轴题的解答大有益处，达到了触类旁通之效。
题1、（2010义乌初二)如图，把含有30⁰角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3

）。动点P从A点

开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA

上运动的速度分别为1，

，2（长度单位/秒）。
一直尺的上边缘从x轴的位置开始以    （长度
单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中
保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点。
设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，
当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线和l
动点P同时停止运动。请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是                   ；
（2）当t=4时，点P的坐标为       ；当t =       ，点P与点E重合；
（3）作点P关于直线EF的对称点Pˊ。在运动过程中，四边形PEPˊ能否成为为菱形，
若能，请求出所有符合条件t的值；若不能请说明理由。③

题2、（2012山西中考样卷）如图，抛物线

过点A（0，-2），B（2，-2）和点，点C的坐标为（2，0）。
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设

。

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，
并写

出t的取值范围；
②当S取时，在抛物线上是否存在点R，
使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存
在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M 到D、A
的距离之差最大，写出点M的坐标。④
数学思想方法的形成，是建立在教师大力组织学生积极地开展数学活动的基础上的。教学中切实渗透数学思想方法可使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最后能将自觉性的学习转化为造性的能力。
总之，教师的工作必须做到认真备课，而备课时要做到：认真钻研教材，善于了解学生，深入研究教法。精心挖掘教材中隐含的数学思想方法，教给学生学习数学的方法，努力培养学生的数学思想，灵活运用数学思想方法，让学生跳出思维定势，达其数学上的左右逢源。
参考文献
①吴正宪感悟数学思想，积累数学活动经验
②浙江省绍兴市2012年中考试题
③浙江省义乌市2009学年第二学期初二期末试题
④新课程山西省2012中考样卷