几何画板在中学数学教学中的应用及其作用

几何画板在中学数学教学中的应用及其作用发布时间：2019-03-24 10:21:00

几何画板在中学数学教学中的应用及其作用
内容摘要：
近年来，如何利用多媒体技术开发课件辅助课堂教学已成为热门话题，数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律。本文结合作者的实践经验，就如何在中学数学教学中应用几何画板及其在教学活动中的重要作用等几方面做了系统的阐述和说明。
一、引言
1．新数学课程标准对在数学教学中应用现代信息技术的要求；
2．几何画板软件简介；
二、问题的提出
三、可行性研究
四、在数学教学中的应用
1．绘制精确的几何图形；
2．研究函数的图像及性质；
3．探寻点的轨迹；
4．讨论方程或不等式的解（集）；
五、在数学教学中的作用
1．有利于设置良好的教学情境；
2．有利于体现数形结合的思想；
3．有利于培养学生的创新意识；
4．有利于发展学生的思维能力；
六、应注意的问题
七、结束语
一、         引言
我国新数学课程标准指出：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”
几何画板（原名：The Geometer’s Sketchpad）是由美国Key Curriculum Press公司研制并出版的几何软件。它是一个适用于数学教学的软件平台，为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式，能显示或构造出较为复杂的图形。
二、         问题的提出
    数学是研究空间形式和数量关系的科学，在传统的认识中，数学学习只不过是一支笔一张纸的纯理论性学习，既枯燥又乏味，从而使人们逐渐对其产生了厌恶的心理，尤其是在中学数学中，有相当一部分的知识是比较抽象难懂的，如不等式解的讨论、三角函数的图像和性质、圆锥曲线方程等等，于是在一些学校中产生了数学课教师难教学生难学的现象。然而，近年来，随着计算机和网络技术的飞速发展，现代信息技术渐渐地走进了课堂，并越来越多地影响着教师的教学和学生的学习活动。根据数学这门学科的特点，几何画板也正在渐渐地被越来越多的人所认识和应用。
三、         可行性研究
1．几何画板软件对硬件配置要求比较低，即使是在老式的386机器上也可以运行；该软件体积比较小，最新的4.04版也只不过四、五兆大小，并且不需要其他软件的支持就可以独立运行。这样即使计算机配置不是很好的学校也可以正常地使用它来进行教学；
2．几何画板操作简单，功能强大。要想学会几何画板，并不需要太多的计算机知识，只要具备简单的运用鼠标和键盘的技能就可以了，这样就可以使教师不用再去花费更多的时间来学习课件的制作与运用，并且制作出来的课件非常形象直观，有利于数学课堂教学。另外，课件的修改也非常方便，甚至可以在课堂上直接地对课件进行制作与修改；
四、         在数学教学中的应用
1．绘制精确的几何图形
规范准确的几何图形往往能给人以美的享受。作为一名数学教育工作者，我们应该充分认识这一点，并要善于运用这个特点来辅助我们的教学。几何画板这个软件则正好给我们提供了这样的一个平台，它不仅可以准确地绘制出任意的几何图形，而且还可以在运动的过程中动态地保持元素之间的几何关系。
图1
例如初中的“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，在数学的发展史上有着非常重要的地位。在常规的教学中，往往是先由教师给出定理，再证明定理，最后举例应用。这样处理教材的内容往往使勾股定理失去了它应有的魅力，难以激发学生学习数学的热情和兴趣。如果在教学中能把几何画板引入课堂，并制作成相应的课件（如图1），利用它的拖拉、测算等功能，可以任意地拖动A、B、C三点以改变该直角三角形的大小，让同学观察相应地正方形面积的变化有何特点，并试着用自己的语言进行归纳总结，进而提出勾股定理，有条件的话，可以让学生自己动手亲自实验；在同学观察实验的基础上，教师再利用构造图形的方法对该定理给予证明。这样能把勾股定理的精华之处一步一步地展现的学生的面前，让他们感受其中的规律，体会其中的艰苦，尝试成功后的喜悦，从而培养他们学习几何的兴趣。

2．研究函数的图像及性质
函数的图像和性质在中学数学里既是重点又是难点。如果在教学中能充分地利用几何画板来将抽象的内容具体化、形象化，那么对于学生的学习无疑是很有帮助的。
图2
例如在高中一年级的三角函数这一部分内容当中，为了更好地研究函数的图像和性质，理解、和的物理意义，可以借助几何画板来做演示（如图2），我们可以动态地调整的大小，使学生能很容易地观察出它只影响曲线的振幅，而对曲线的周期和初相都没有影响，类似地我们再调整和的大小，以了解它们的作用。

这样，就会使整个内容变得非常形象直观，易于接受，比过去直接用理论来说明或简单地在黑板上画几个草图来讲解的效果要好得多。在学习其他的函数图像和性质时也可以采取类似的方法，从而会使数学的课堂也变得丰富多彩起来。
3．探寻点的轨迹
点的轨迹的问题，一直以来都是学生们比较难以理解和掌握的问题，大多数学生只能在头脑中简单地想象或手工地画出其草图，而这样又不能保证所画图像的精确性，尤其是对初学者来说，更难以形成自己的知识，达到熟练应用的程度。如果应用几何画板，就可以动态地描绘出轨迹的形成过程，使学生能够更容易地抓住其本质进行学习。
图3
例如，在学习椭圆这一部分内容时，可以利用几何画板来演示椭圆的形成过程（如图3）。在教学过程中，我们不妨在课堂上一步一步地直接给出该课件的制作过程。通过对这个过程的了解，学生可以非常容易地知道点C就是到定点F1、F2等于定长的点。当点P在圆上不停地运动的时候，点C的轨迹则正好就是椭圆。于是椭圆的形成过程就完全地展现在学生的面前，这对于他们的形象记忆是很有好处的。当然，为了更好地说明问题，我们还可以测算出F1C、F2C以及二者的长度之和，这样可以使学生非常方便地观察出动点C在运动过程中其他的量与量之间的关系，从而对椭圆的形成过程有进一步的认识。

图4
在几何画板中，椭圆的作法还有很多种，我们可以鼓励学生在课下自己动手，试着用其他的方法作出椭圆，以达到举一反三的目的，这样在接下来学习双曲线这一部内容的时候，就可以让同学们自己动手来探索问题了。不仅是圆锥曲线这一部分的内容可以用几何画板来辅助教学，其它很多有关点的轨迹的问题都可以有它来帮忙。比如，有这样一道有趣的题：△ABC的边BC固定，点A在定圆上运动，判断它的外心轨迹的形状。对于这个题目来说，很难直接地判断出轨迹的形状，究竟是圆、椭圆、直线还是其他什么形状呢？如果我们借助几何画板来研究这个问题，则可以很容易地看出，在一般情况下轨迹的形状是（如图4）线段，如果再深入地研究，可以发现：当把点B拖入圆内时，外心O的轨迹是直线；当把点B、C都拖入圆内时，外心O的轨迹是两条射线。后来还发现即使点B、C在圆上，外心的轨迹也可能是射线，等等。这样通过对几何画板的运用，使这个问题得到了很好的解决，比单纯地口述或简单地画草图要直观得多，容易理解得多。

4．讨论方程或不等式的解（集）
    “方程”、“函数”和“不等式”之间存在着一定的相互依存关系。在学习的过程中，我们往往要利用这种关系，将某些方程或不等式的问题转化为函数的问题，并最终图像化。通过函数图像中存在的交点及交点的变化情况，揭示问题的内在本质和参数的几何意义，从而使问题简化。几何画板在这方面也给我们提供了一个很好的平台，可以很方便地从图形的变化中，让学生进行感知，去寻求对策，进而运用合理的数学运算、推理等方法使问题得到彻底解决。
例如：讨论方程（为参数）的根的情况，并求出其根。
将方程转化为：
将方程重组：
建立函数：     和
图5
然后，我们构建函数的图像，利用函数这一动直线的移动变化观察出函数在这一区间的交点的个数（如图5），得到原方程的根的存在情况。这样在这个演示实验的帮助下，使学生能获得更加深刻的认识。

类似地，对于下面这个问题也可以这样处理：方程有两个根，其中一个根在（0，1）之间，另一个根在（2，3）之间，求取值范围。
我们可以将拆成两个函数：和再分别进行讨论。另一方面，也可以让直线不动，而让抛物线运动，即设函数，讨论其与轴的交点，从而从多个角度来提示问题的本质特征，使学生对这个知识点的理解能上升到一个新的高度。
五、         在数学教学中的作用
“现代技术的使用将会深刻地影响数学教学内容、方法和目标的改变。”在中学数学教学中应用几何画板的作用主要体现在以下几个方面：
1．      有利于设置良好的教学情境
由瑞士心理学家皮亚杰提出的建构主义认为：世界是客观存在的，由于每个人的知识、经验和信念的不同，每个人都有自己对世界独特的理解。知识并非是主体对客观现实的、被动的、镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。建构主义要求学生在情景交互中直接获得知识，并建立和构造了自己的知识库。可见，在教学中创设一个良好的教学情境是相当重要的，数学教学也是如此。几何画板正好提供了一个“数学实验”的环境，使学生由过去枯燥乏味的“听数学”转变为真正的“做数学”，从而实现由“要我学”到“我要学”的过渡。借助于几何画板，我们不但可以把很多数学概念的形成过程充分地“暴露”出来，随时看到各种情形下的数量关系的变化，而且还可以把“形”和“数”的潜在关系及其变化动态的显现在屏幕上，甚至可以根据需要对这个过程进行控制，学生也通过观察的过程、制作的过程、比较的过程，产生他的经验体系，形成他的认知结构，从而更好地完成整个认知过程。
例如，在教学椭圆、双曲线等内容的时候，我们就可以借助几何画板这个工具将原本抽象难懂的内容形象化，创造一个愉快的学习氛围，使学生真正主动地参与到教学活动中来。它不同于其它绘图软件只要绘出图像就可以了，也不像一般地教学辅助软件给出公式就可以自动地绘出图像，而是要求学生领会“圆锥曲线”的精髓，紧扣定义，巧妙构思，建立数学模型，从而真正地做到了动手与动脑相结合，寓趣味性、技巧性、知识性于一体。
2．      有利于体现数形结合的思想
华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”这句话不但深刻地揭示了数学中数与形之间的依存关系，而且还体现了辩证唯物主义的思想。把数形结合的思想贯彻于数学学习过程的始终是学好数学的关键之一。几何画板能够简单快捷地画出各种几何图形，而且其中的测算功能迅速地测量出图形的长度、角度、面积等，并能进行各种复杂的计算。利用图形的运动和显示出来的数据，则能充分有效地把图形与数值结合起来，体现了几何画板在数形结合上的优势，这是以往其它任何教学方式所无法达到的境地。
图6
图7
图8
例如：在极坐标方程（和为非零常数）中，我们知道，当为奇数时，曲线是叶玫瑰线（如图6）；当是偶数时，曲线是2 叶玫瑰线（如图7）。那么当既不是奇数又不是偶数（如 =4.5）时又是什么样的呢？这就很难说了，但如果我们利用几何画板就可以既容易又直观地做出它的曲线（如图8）。当 =4.5时，是“重瓣的玫瑰”呀，数学的美感就会立刻展现在我们的眼前，而且我们还可以进一步地做出当为其他一些特殊值时的曲线，使数与形充分地结合在一起。

3．      有利于培养学生的创新意识
创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，是民族兴旺的动力。它以发掘人的创新潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨，而培养学生的创新意识是数学教学中的一个重要目的和一条基本原则。几何画板给学生提供了一个动态研究问题的工具，使他们有了创新的机会。
图11
图10
图9
例如有这样一道轨迹问题：如图9，B是半径为r的定圆A内的一定点，M是圆

A上的一动点，过线段BM的中点E作BM的垂线与半径AM的交点为P，求P的轨迹。点P的轨迹显然是一个椭圆，这是因为|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=r（|AB|

4．     有利于发展学生的思维能力
思维能力是能力结构的核心。利用几何画板的动态图形功能，可以即刻改变问题的条件，观察结论所发生的变化，从而启发学生思维，培养思维能力。
例如：P是△ABC内部任意一点，直线AP、BP、CP分别与BC、CA、AB交于D、E、F，EF交AD于H，试证：。（数学通报“数学问题”栏目的第1167题）
在证明完这道题之后，我们试着将P点拖到△ABC的外部再进行观察。学生显然会发现屏幕上显示的与的值仍然相等（如图12）。这也就是说，题设中的条件“P是△ABC内部的任意一点”不是必要条件。接下来我们就可以进一步引导学生思考：结论成立的充要条件是什么呢？这时可以让学生自由的讨论，再进行最后的总结。这样就无形当中锻炼了学生的思维能力。可能一直到最后，学生也不一定能得出正确的结论，这时，我们可以适当的提示：把点P拖动到使AP平行于BC的位置时，再观察屏幕。这时的数值不见了，这是因为点D在这时是不存在的；再将点P拖动到点A的上方，会发现与的值并不相等，此时结论也不成立……最后，我们再引导学生归纳总结出问题的结果：过点A作直线BC的平行线AM，只要点P不在直线AM的上方（否则H、P、D三点不都在点A的同旁），也不在直线AB、AC、AM上，点P在其他任何位置结论都成立。象这样应用启发式和讨论式的教学，能激发学生独立思考和创新意识，使他们的思维能力得到发展。
六、         应注意的问题
几何画板引入课堂无论是对于教师的教学还是对学生的学习都是非常有帮助的，但在应用的过程当中也应注意几个问题：首先，多媒体技术在教学中的应用应该是以教学的需要为基准，它是为教学服务的，在教学中起着辅助的作用，不应以多媒体的应用为主体而忽略了知识的传授，更应注意避免多媒体在教学中所起的负面影响。作为现代教育技术引入课堂的几何画板也应如此，只有恰当的应用才能收到良好的效果；其次，几何画板确实为教学提供了很大的方便，但我们在应用的时候，要充分地用它来引导学生的学习，让它帮助学生思考，而不是代替学生思考，作为教师要给予恰当的提示，通过计算机演示实验帮助学生完成思考过程，形成对知识的理解，而不是利用计算机直接地给出结论，否则会使学生养成过分依赖的习惯，挫伤学生的创造意识和实践能力。
七、         结束语
总之，几何画板在数学课堂教学中的广泛应用和推广，不仅带来了教学内容、教学方法、教学模式的深刻变革，而且使学生接受知识的被动地位得以改变，真正实现课堂教学中学生的主体地位和教师的主导地位，对提高学生数学素质和教师的教学能力有着重要作用，同时也对我国的素质教育起着重要的推进作用，为国家建设培养大量高素质的综合型人才。