初中数学化概念教学的观察与思考

初中数学化概念教学的观察与思考发布时间：2019-03-24 10:29:04

初中数学化概念教学的观察与思考
【摘要】教学改革轰轰烈烈，而初中数学概念教学却依然低效．本文以这种现象为缘起，在明晰数学化内涵和数学概念教学核心的前提下，通过观察、剖析“两类”概念教学的案例，感悟“数学化”在初中数学概念教学中的作用，提出了关于初中数学概念教学的几点建议．
【关键词】 数学化数学概念教学举例   观察思考建议

“概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式”．随着教学研究不断深入，以提高概念教学有效性为目的的教学活动正在蓬勃开展，以“两种基本概念获得方式”为依据，构建教学模式，实施教学活动不但成为广大教师的共识，也成为一种行动．然而，与之形成鲜明对照的是数学概念教学依然低效．这是为什么呢？笔者认为，数学概念教学的 “数学化” 缺失是主要原因之一．
1．数学化与数学概念教学
1．1数学化的内涵
弗赖登塔尔认为：数学化就是数学地组织现实世界的过程．在此他所强调的数学化的对象分为两类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身．以此为依据数学化思想被分为两大类：横向数学化和纵向数学化．横向数学化──对客观世界进行数学化，结果是数学概念、运算法则、规律、定理和为解决具体问题而构造的数学模型等；纵向数学化──对数学本身进行数学化，既可以是某些数学知识的深化，亦可以是对已有的数学知识进行分类、整理、综合构造，以形成不同层次的公理体系，使数学知识体系更系统，更完美．^[1]
1．2数学概念教学
  从教育与发展心理学的观点上看，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念．^[2]
2．数学概念教学关注“数学化”举例
    案例1．人教版数学八年级上册“14．1．2函数”概念教学
（多媒体呈现人教版教材第94页中的五个实际例子）
环节一 ──引入概念：
教师：（引导学生横向观察）请同学们观察每个问题中是否有两个相互联系的变量，同一个问题中的变量之间有什么联系？
学生1：问题1有两个相互联系的变量t与S，它们可用式子表示为S=60t，每当t取定一个值时，S就随之确定一个值；
学生2：问题2有两个相互联系的变量x与y，它们可用式子表示为y=10x，每当x取定一个值时，y就随之确定一个值；
……
教师：（引导学生纵向比较）请比较上述5组变量，并概括其共同特点．
学生3：两个相互联系的变量都可以用式子表示，它们在变化过程中，一个量确定，另一个变量也随之唯一确定．
教师：当两个变量具备上述特点，我们就称“另一个变量”是“其中一个变量”的函数．（出示课题──函数）．
环节二 ──用数学语言准确表达概念：
教师：现实生活中，许多问题中的两个变量都具有类似的特点，但它们不一定能用式子表示．如果我们把这些变化过程中的两个变量分别用x、y来表示，那么这两个变量之间的关系的共同特点又怎样描述呢？下面让我们一起来表达．
师生：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
环节三 ──深化函数概念：
教师：请探究下列问题（多媒体呈现教材第96页中的思考①、思考②）．
生4：①有，②也有．
教师：对的，对照函数的概念，请判断思考①、思考②中的y与x是否成函数关系吗？
众生：成．
教师：回顾探讨过的7个问题，你发现两个变量之间的函数关系一定可以用式子表示吗？
生5：不一定．
教师：请说说它们有哪些表达方式？
生5：它们有的可用式子、有的可用图象、有的还可用表格．

教师：是的，表示函数的方法有上述三种，我们分别把它们称为解析法、图像法和列表法．
教师：请继续思考如下问题．题目：式子①y=2x、②y=x²、③y= 中，y是x的函数吗？为什么？
生6：①、②是，但③不是．
教师：对的．你能说说是或不是的理由吗？
生6：在①中：无论x取什么值，每当x取定一个值时，y就随之确定一个值，这符合函数的定义，所以它是；在②中：虽然当x=2时，y的对应值是4，当x=-2时，y的对应值也是4，但这符合每当x取定一个值时，y就随之确定一个值的条件，也符合函数的定义，所以它是．但在③中当x=4时y有2和-2两个值与之对应，这不符合函数的定义，所以它不是．
教师：说得真好．谁还能用“几对几”的形式，说明函数自变量与函数值之间的对应特点？
生7： “一对一”、“多对一”，但不能“一对多”．
教师：说得对．下面请继续探究（多媒体呈现教材第97页中的探究①、探究②）．
学生：……
环节四 ──运用概念：
教师：请看例题（多媒体呈现教材第98页中的例1）．
学生：……
课堂观察：师生课堂配合默契，学生学习热情饱满．
分析思考：本案例教师以揭示变量与变量之间的对应关系为目标，以教材呈现的十个实际问题和教者补充的一个练习为载体，为学生构建一系列适合学习“函数概念”的数学活动：
活动一（环节一 ）：横向观察5个问题中的变量（感悟每个问题变量的特点）──纵向比较5个问题中的变量（感悟5个问题变量的共同特点）──概括变量的共同点（学生通过观察、分析、比较，抽象出变量的共性，使概念的“本质属性”从实际问题中分离出来，形成函数概念）．这是一次横向数学化的过程．
活动二（环节二 ）：本环节中，教者指出“现实生活中，许多问题中的两个变量都具有类似的特点，但它们不一定能用式子表示”．在这里，把五个问题引伸到一类问题，把“能用式子表示”排除于共性之外．在明确概念的共同属性的前提下，用数学语言准确表达函数概念，这又是一次对数学问题的概括，它是一次纵向数学化的过程．
活动三（环节三 ）：探究思考①、思考②（此处，变化过程中的变量之间的关系只能用图象或表格表示，这恰好突出了“都能用式子表达”是概念的非本质属性，使学生进一步明确概念的本质属性）──补充练习（体会变量中的单值对应关系）──思考探究①、探究②（进一步认识变量间的单值对应关系，沟通函数概念与一元代数式的联系）．这都是纵向数学化的过程．
活动四（环节四 ）：开展例1的学习与探究，体会函数应用的广泛性，掌握根据实际意义列函数解析式、找自变量的取值范围以及求函数值的方法，从而感悟函数的三要素（定义域、值域和对应关系），更深入地理解函数概念的本质属性（对应关系）．这是再次纵向数学化的过程．
3．数学概念教学缺失“数学化”举隅
3．1看对象──缺乏方法的指引
案例2：函数概念教学──观察、比较与概括片段
（多媒体呈现人教版教材的5个实例）
教师：请观察5个实际例子，并指出每个问题的特点．
生1：问题（1）中含有一个常量60、两个变量t与S，这三个量互相联系着，它们之间的联系可用式子表示为S=60t，每当t取定一个值，S有唯一的值与之对应．
生2：问题（2）中含有一个常量10、两个变量x与y，这三个量互相联系着，它们的联系可用式子表示为y=10x，每当x取定一个值，y有唯一的值与之对应．
……
教师：请比较5个问题，指出它们的共同特点．
生2：都含有常量和两个变量，这些“量”相互联系，它们都可用式子表示, 当其中一个变量取定一个值，另一个变量就有唯一确定的值与之对应．
课堂观察：学生的反响热列，课堂氛围轻松活跃．
分析思考：本环节中的5个问题是上节课的学习内容，学生十分熟悉，很有利于开展函数概念教学的探究活动．但本片段中，教者虽然锁定了5个观察对象，但没有明确观察的内容和要求，于是 “观变量”变成了“自由瞧”，由此获得的“共同特点”未能聚焦在函数的本质属性上──这就是它的“数学化” 缺失之处．
3．2寻本质──缺乏属性的明晰
案例3：函数概念教学──抽象与概括片段（接案例2中的片段）
教师：当两个变量具备上述特点，我们就称“另一个变量”是“其中一个变量”的函数．（出示课题──函数）．
教师：让我们一起用数学语言概括5个问题的共同特点── 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
众生：（集体被动地附和着，声音很小）……
课堂观察：教师的抽象与概括牵强，学生的跟随被动，课堂氛围逐渐沉闷．
分析思考：本片段中，由于上个环节观察的失误，所获“共同特点”并非都是函数的本质属性，而教者又不能急中生智──组织相应的探究加以区别（诸如“含有常量”、“两个变量之间的关系都能用式子表示”等非本质属性未从“共性”中甄别开来），函数的“本质属性”只能湮没在问题的“共同特点”之中，致使本质属性不能从实际问题中分离出来──这也是它的 “数学化” 缺失之处．
3．3抓应用──缺乏概念的“精致”
案例4：初三复习真题训练
题目：我们知道，平面上的两条直线的位置关系只有两种情况：平行或相交。如图3—3在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（-2，8），B（4，-4），直线y=kx-2与直线AB有交点，求k的取值范围．
初中数学化概念教学的观察与思考

此题出示几分钟后，教师巡视课堂发现大部分学生不会做，已动手的学生在确定直线AB的解析式之后纠结于是“k=-2”还是“k≠-2”，于是提示：两条直线相交时，k不相等．曾经纠结的学生好像明白了，教师一边板书，一边带领学生解题如下：
解：设直线AB为：y=k₁x+b
初中数学化概念教学的观察与思考

∴ 直线AB为 y=-2x+4
∵y =-2x+4与 y=kx-2有交点 ∴k≠-2

课堂观察：教师的提示似乎有效，纠结的学生感觉自己明白了，余下的同学在教师的引导下也完成了解题，大家自我感觉良好．（因为题目解完了，好像也会了）
分析思考：此处教师引导学生直接运用从概念派生出来的结论（两直线相交，k不相等）来解决问题，表面上看，教学高速有效．但笔者还是认为，这样的教学缺乏概念教学的“精致”．在此，与问题相关的概念有二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组的解、坐标、直线、直线的交点、一次函数、一次函数的图像等，但教师没有引导学生回顾相关概念，没有通过探究相关概念的联系来再发现规律（两直线相交，k不相等），进而解决问题．这样的教学，从知识的角度上看，学生丧失一次系统复习和进一步深刻理解相关概念的机会，从思维角度上看，弱化了学生用数学概念分析问题和解决问题的能力──这同样是其“数学化” 缺失的表现．
4．数学概念教学的几点建议
4．1数学概念教学应关注“数学化”的过程
初中数学化概念教学的观察与思考

由案例1不难看出，数学概念教学就是数学地组织现实世界的过程（数学化的过程），这个过程既体现了数学概念发生、发展的过程，也贯穿了学生学习的过程．其互相联系如图3—1所示：

可见，有效高质的数学概念教学与数学化活动是紧密联系的．对于概念教学而言，它以横向数学化展开，以纵向数学化延续和深化．从某种意义上说，“数学化”的成败决定着数学概念教学的成败，“数学化”水平的高低决定着数学概念教学质量的优劣．以此为由，数学概念教学应关注“数学化”的过程．
4．2让学生经历发现数学概念本质属性的“数学化”过程
由概念教学与数学化发展和演变过程框图可知：从创设“问题情境”到抽象“本质属性”的环节，既伴随着一次横向数学化的过程，也伴随着一次学生概念形成的心理过程（如图3—2所示）．
初中数学化概念教学的观察与思考

易见，学生学习数学概念，先是借助问题情境（问题串），开展观察、分析、比较等数学活动，将概念的“本质属性”从具体的实际问题中分离出来，然后将概念纳入自己的概念体系之中．这样，他们一方面获得关于相关概念的知识，另一方面获得关于认识一类事物的思想方法．
4．3让学生经历将文字、图形语言概括成数学符号语言的“数学化”过程
在得出一类事物的共同属性，并初步形成概念后，引导学生尝试用数学语言、符号来描述、解释“共同属性”，这对于学生来说又是一个抽象、概括数学问题的过程．学生亲身经历这一过程，不但可以加深对概念的理解，而且能更好地接收数学信息、更好地表达数学思想、更好地运用概念解决实际和数学问题．
4．4 让学生在应用中有意识地回到数学概念中去
案例4所反映的学生面对不熟悉的题束手无策，其主要根源在于他们没有把握数学基本概念及其联系的能力．如果教师发现学生解题不畅，将“提示”变成“探究”效果大不一样：任意选取一个一次函数y=kx+b，如果把两个变量x、y看成两个未知数，它可以看成什么？（用方程的观点看一次函数）——探究所得的二元一次方程的解、解所对应的图形及它与一次函数y=kx+b的图象关系（揭示二元一次方程的解与一次函数图象的关系）──考察直线的倾斜程度与k的关系──考察两条直线的位置关系与k的联系（揭示位置关系与k的联系）．
在这样的“探究”中，无形地把与“问题”相关的概念构成了一个有机的整体──构成了一个互相关联的“概念系统”，学生不但在回顾概念、探究概念及概念间的联系中更深刻地理解概念，而且还洞察概念的关联，并获得解决问题的思路与方法．
5．结束语
数学概念教学是一个永无止境的过程．在这个过程中，有时我们对概念的理解是正确的，对学生认知存在的问题也是清楚的，但面对教学仍然无能为力，这也许就是数学化能力不足在作祟吧！因此，要提高数学概念教学水平，那么提高师生的数学化水平则不可小觑．

参考文献
[1]顾继玲．让学生经历“数学化”的过程[J]，中学数学教学参考（中旬），2011．7
[2]章建跃．中学数学课改的十个论题[J]，中学数学教学参考（中旬），2010．3
[3]何小亚数学学与教的心理学（与新课程同行）[M]．华南理工大学出版社，2003．